MMS: Mathematical Foundations of M&S

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English version

This is a basic subject on matrix theory and linear algebra. Emphasis is given to topics that will be useful in models and simulation for several disciplines. It includes systems of equations, vector spaces, determinants and eigenvalues.

Goals

• Enhance the mathematics skills and fundaments.
• Give enough mathematic basics to understand the topics of modelling and simulation systems.

Content

1. Linear equation systems
1. Matrix: Operations and properties.
2. Resolve linear systems by Gauss and Gauss-Jordan methods.
3. Resolve linear systems by inverse and Cramer's rule.
4. Applications: Leonlief product supplies analysis.
2. Rn Vectors
1. Rn Vectors.
2. Operations between vectors.
3. Dot product, norm and projection
4. Cross product.
5. Applications: Parallels and orthogonal vectors, area and surface vectors
3. Vector space
1. Spaces and subspaces.
2. Lineal combination and space generation.
3. lineal dependence and lineal independece.
4. Basis and dimension
5. Linear transformations.
6. Eigen-values and eigen-vectors
4. One variable functions
1. One variable functions generalities.
2. Several variable functions generalities.
3. Partial derivates, gradient and directional derivates.
4. Optimization.
5. Multiple integration.
6. Vector analysis.
5. Differential equations
1. First order differential equations.
2. Second order differential equations.
3. Differential equations systems.
4. Solution by transforms methods
5. Introduction to partial differential equations.

Week activities

Session date	Teacher	Topic	External resources
1 - 30-Ene	Todos, Darwin	Presentation Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication Matrix Multiplication Linear Systems of Equations. Gauss Elimination Solutions of Linear Systems: Existence, Uniqueness Determinants. Cramer’s Rule Inverse of a Matrix. Gauss–Jordan Elimination	Applets algebra lineal Matrix Multiplicaction Gauss Elimination Determinants Gauss-Jordan Pivot trainning Algebra Lineal tutoriales
2 6-Feb	Darwin	Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space Vector Spaces, Inner Product Spaces, Linear Transformations The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues and Eigenvectors	Linear Independence Examples Vector Space Linear independence Eigen-vectors/values eigenvalues
3 13-Feb	Darwin	LAB: Linear algebra
4 20-Feb	Darwin	Test
5 27-Feb	Camilo	Vectors in 2-Space and 3-Space Inner Product (Dot Product), Vector Product (Cross Product) Review of one variable Calculus Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives	Stokes theorem The idea of the divergence of a vector field Subtleties about divergence The idea of the curl of a vector field Subtleties about curl The idea behind Green's theorem
6 6-Mar	Camilo	Functions of Several Variables Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative Divergence of a Vector Field Curl of a Vector Field Lagrange multipliers
7 13-Mar	Camilo	Line Integrals, Path Independence Calculus Review: Double Integrals.
8 20-Mar	Camilo	Green’s Theorem in the Plane Surfaces for Surface Integrals Surface Integrals Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss
9 27-Mar	Camilo	LAB: Vector calculus
10 3-Abr	Camilo	Test
11 10-Abr	Angélica	Basic Concepts. Modeling Geometric Meaning of y r ϭ f (x, y). Direction Fields, Euler’s Method Separable ODEs. Modeling Exact ODEs. Integrating Factors Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics Orthogonal Trajectories. Existence and Uniqueness of Solutions for Initial Value Problem
12 24-Abr	Angélica	Homogeneous Linear ODEs of Second Order Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients Modeling of Free Oscillations of a Mass–Spring System Differential Operators. Euler–Cauchy Equations Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian Nonhomogeneous ODEs Modelling: Forced Oscillations.
13 29-Abr*	Angélica	Systems of ODEs Solution with special functions
14 8-May	Angélica	LABORATORIO: Differential equations
15 15-may	Angélica	Basic Concepts of PDEs Modeling: Vibrating String, Wave Equation
16 22-May	Angélica	Test

Versión en español

Objetivos

• Fortalecer la formación matemática de los estudiantes
• Proporcionar los fundamentos matemáticos necesarios para abordar adecuadamente las temáticas propias del modelado y simulación

Competencias generadas

Competencias interpretativas

• Identificar las variables, constantes y parámetros que definen un sistema.
• Leer, comprender e interpretar textos científicos con contenido matemático.
• Asociar los resultados obtenidos a través del modelado con las características del sistema representado.
• Expresar principios e hipótesis usando diferentes elementos del lenguaje matemático.

Competencias argumentativas

• Establecer y analizar relaciones que representan fenómenos, sistemas y/o procesos.
• Seleccionar y utilizar métodos apropiados para resolver problemas o sistemas.
• Explicar ideas técnicas a través de textos, gráficas, ecuaciones e imágenes.

Competencias propositivas

• Plantear un modelo matemático adecuado a casos particulares o problemas típicos.
• Realizar diferentes tipos de representaciones para un único sistema.

Contenido

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
2. Matrices: operaciones y propiedades
3. Resolución de sistemas de ecuaciones por los métodos de Gauss y Gauss Jordan.
4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando la inversa y regla de Cramer.
5. Aplicaciones: Análisis de Insumo Producto de Leontief, Teoría de grafos y Cadenas de Markov.
1. VECTORES EN Rn
2. Vectores en Rn
3. Operaciones entre vectores
4. Producto punto, norma y proyecciones
5. Producto cruz
6. Aplicaciones: Paralelismo y ortogonalidad de vectores, vectores de área y de superficie.
1. ESPACIOS VECTORIALES
2. Espacios y sub-espacios
3. Combinación lineal y espacio generado
4. Dependencia e independencia lineal
5. Bases y dimensión
6. Transformaciones lineales.
7. Valores propios y vectores propios
1. FUNCIONES DE UNA Y VARIAS VARIABLES
2. Generalidades de funciones en una variable
3. Generalidades de funciones en varias variables
4. Derivadas parciales, gradiente y derivadas direccionales
5. Optimización
6. Integración múltiple
7. Análisis vectorial
1. ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
3. Ecuaciones de diferenciales de segundo orden
4. Sistemas de ecuaciones diferenciales
5. Solución mediante el método de transformadas
6. Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

Metodología

• La enseñanza de este curso se realizará a través de clases teóricas y prácticas en salas de cómputo.
• En el desarrollo de las clases prevalecerá la conceptualización en los temas a tratar sobre las destrezas operativas que pueden trabajarse mediante Sistemas Algebraicos Computacionales SAC.
• Durante el curso se hará énfasis en la importancia de cada tema en la formulación de modelos, considerando los diferentes campos de aplicación, más que en la implementación de algoritmos.




Bibliography/Bibliografía

1. Giordano, F., Fox, W., Horton, S., & Weir, M. (2009). 'A first course in mathematical modelling . Canada: Brooks/Cole Cengage Learning.
2. Grossman, S. (2008). Álgebra Lineal. México: Mc Graw Hill.
3. Kolman, B., & Hill, D. (2013). Álgebra Lineal. Fundamentos y apliaciones. Bogotá: Pearson.
4. Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Calculo 2 de Varias variables. China: Mc Graw Hill.
5. Meerschaaert, M. (2007). Mathematical Modeling. San Diego, United States of America: Elsevier Academic Press.
6. Zill, D. G. (2002). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México: Cengage Learning.




Slides / Presentaciones

1. File:SemanaUno.pdf
2. File:SemanaDos.pdf