Justificación – Finalidad del Espacio Formativo:

El uso del Modelado y Simulación como soporte a tareas de Ciencias Naturales y Sociales (análisis de datos experimentales, ajustes, validación numérica de modelos matemáticos, prueba de hipótesis) y de ingeniería (diseño a partir de modelos, métodos de procesamiento de datos, optimización, simulación de sistemas físicos,  análisis de comportamiento de sistemas) implica, de manera intensiva, el uso de herramientas computacionales que permitan la determinación de soluciones satisfactorias en problemas de solución analítica compleja, sin solución analítica o mal condicionados desde el punto de vista matemático.

De este modo, el curso de Programación y Análisis Numérico permitirá presentar, de forma integrada y aplicada, los conceptos y herramientas informáticas fundamentales para la solución numérica (aproximada) de problemas, ofreciendo, además, los elementos conceptuales y prácticos para el estudio de las características, comportamientos y sensibilidad de los sistemas desde la perspectiva de la simulación por computador.

Objetivos:

  • El curso permitirá a los estudiantes el desarrollo de las competencias básicas relativas a pensamiento algorítmico y solución algorítmica de problemas, aplicado a los conceptos fundamentales de Análisis Numérico.
  • El estudiante conocerá las técnicas básicas de programación de métodos para el manejo algebraico de representaciones computacionales de datos numéricos para interpolación, integración numérica de ecuaciones lineales algebraicas, diferenciales ordinarias y diferenciales en derivadas parciales y la estimación de raíces polinómicas

Competencias generadas:

  • Analizar: interpretar problemas matemáticos en términos de soluciones algorítmicas
  • Analizar: conocer y contextualizar, según utilidad, los algoritmos básicos para análisis numérico
  • Diseñar: proponer estrategias de solución a problemas definidos sobre modelos aplicados (matemáticos, físicos, biológicos, sociales, de ingeniería)
  • Diseñar: implementar soluciones numéricas a partir de la especificación algorítmica de la aproximación a la solución de un problema
  • Investigar: determinar y caracterizar comportamientos a partir de condiciones y escenarios, especificados mediante parámetros variables, enfrentados en la implementación numérica de la solución de un problema

Contenido de la Asignatura:

1 Introducción

a)      Fundamentos de pensamiento algorítmico. Sintaxis, flujo de un programa, estructuras de control

b)      Interpretación algorítmica del lenguaje matemático

c)      Aritmética de computadora, precisión y error

2. Operaciones vectoriales y matriciales

a)      Estructuras de datos de utilidad en la solución de problemas numéricos

b)      Implementación numérica de operaciones del Álgebra Lineal

c)      Implementación de métodos matriciales para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

d)      Factorización LU

e)      Cálculo de determinantes

f)       Métodos para la determinación de valores y vectores propios

3. Aproximación numérica

a)      Polinomios de Taylor

b)      Métodos para la aproximación a raíces de polinomios

c)      Ajuste e de datos, métodos de mínimos cuadrados

d)      Métodos de Interpolación , Splines

e)      Ajuste mediante polinomios de Legendre y de Chebyshev

4. Integración numérica

  1. Fórmula de Newton-Cotes
  2. Regla del Trapecio, Regla de Simpson, Reglas compuestas
  3. Orden de la cuadratura numérica
  4. Aceleración de la convergencia, Método de Romberg
5. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs)
  1. Métodos de Euler, predictor corrector, paso adaptativo
  2. Método de Runge-Kutta
  3. Influencia del ruido, estabilidad del método de solución
6. Solución numérica de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDDPs)
  1. Tipos de ecuaciones y ejemplos físicos (elípticas, parabólicas, hiperbólicas)
  2. Método de diferencias finitas
  3. Aplicación del Método de Sobrerrelajación Sucesiva (SOR)
  4. Métodos implícitos: Crank Nicholson
  5. Problemas mal condicionados, regularización.

 

Metodología:

La asignatura tendrá un desarrollo teórico-práctico.

  • Las horas teóricas se llevarán a cabo mediante clases magistrales dedicadas a presentar y dar soporte a los contenidos del programa y la resolución de problemas y ejercicios que permitan la asimilación y manipulación de los conceptos y métodos estudiados.
  • Las horas prácticas serán distribuidas con al menos dos laboratorios por unidad, donde con un enfoque computacional se analizarán algunos ejercicios vistos con anterioridad en la clase teórica.
  • Los laboratorios conducirán a la formulación de talleres a desarrollar autónomamente por el estudiante y que constituirán parte de la evaluación práctica. Los laboratorios se desarrollarán en Matlab (conceptos fundamentales) y C o FORTRAN (temas avanzados)

Criterios de evaluación:

Para evaluar el aprendizaje y rendimiento de los estudiantes se realizan dos exámenes parciales y un examen final. Cada uno de estos exámenes consiste en la resolución de problemas teórico-práctico. Se evaluará el proyecto desarrollado en clase, los laboratorios y  por último, los ejercicios y participación en clase.

Los porcentajes de cada uno de los aspectos se distribuye como sigue: 

  • Examen Parcial 1 (15%) 
  • Presentación de Talleres 1 (15%)
  • Examen Parcial 2 (15%)
  • Presentación de Talleres 2 (15%)
  • Examen final (20%)
  • Evaluación práctica final (20%)

Bibliografía básica:

  • R. Burden and J. Faires, Numerical Analysis, 8th ed., Brooks/Cole, 2001

Bibliografía complementaria y lecturas recomendadas:

  • G.F. Forsythe, M.A. Malcolm and C.B. Moler, Computer Methods for Mathematical Computations
  • D. Kincaid and W. Cheney, Numerical Analysis
  • Métodos numéricos: introducción, aplicaciones y programación. Antonio Huerta, Josep Sarrate y Antonio Rodríguez-Ferrán